Hermite 二次型

H阵&正规阵

二次型（复数域）
设 $A \in C^{n} \times n$ ,定义一复变量、复值函数 $f (X) = X^{H} A X = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \overset{―}{x_{i}} x_{j},$ 其中， $X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}$ 。可以证明： $\forall x_{j} \in C, f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R \Leftrightarrow A^{H} = A$

H阵|正规阵

H阵|Hermite二次型

设 $A \in C^{n \times n}$ ,若有 $A^{H} = A$ ,则称矩阵为Hermite矩阵，简称为 $H$ 阵。这时的 $f (X)$ 称为是Hermite二次型。

H阵性质（类似于实对称阵）
- H阵特征值均为实数
- H阵属于不同特征值的特征向量相互正交
- 若 $A$ 为H阵，则存在酉阵 $U, U^{H} A U = Λ$
【证明思路】由 Schur引理，可知存在酉阵使得与上三角阵 $R$ 相似；再利用H阵特性易证 $R = R^{H}$

正规阵

$A^{H} A = A A^{H}, A \in C^{n \times n}$

H阵，酉阵均为正规阵
（类似H阵，易证）正规阵酉相似于对角阵

证明：正规阵

A, B

相似的充要条件为有相同特征多项式

通过均酉相似于对角阵易证特征多项式相同

证明：

A

是幂零阵<——>

A = O

<——显然成立
——>由酉相似， $A^{k} = O$ ——> $Λ^{k} = O$ ——> $Λ = O, A = U Λ U^{H} = O$

标准型

共轭合同 | Hermite二次型标准型

共轭合同

设 $A, B$ 是 $H$ 阵，若有可逆阵 $C$ ,使得 $B = C^{H} A C$ ，则称 $A$ 与 $B$ 是共轭合同的，记作 $A ≃ B$

共轭合同满足：反身性( $I^{A} I = A$ )，对称性，传递性( $A ≃ B ≃ C$ )

二次型标准型

二次型 $f (X)$ 在可逆线性变换下 $X = C Y$ 变为只含平方项形式

求二次型标准型
- 配方法（初等变换法）
- 酉变换法（利用酉相似）

惯性定理

定理

Hermite 二次型的标准型中正/负项个数与所用可逆线性变换无关，正/负项个数称作正/负惯性指数

该性质由线性变换不改变平方项正负性可直观得出
如 $f (x) = d_{1} | y_{1} |^{2} + \dots + d_{n} | y_{n} |^{2}$ ，正/负惯性指数为 ${d_{i}}_{i = 1}^{n}$ 正/负项个数，秩=正惯性指数+负惯性指数

定理

$A ≃ B$ <——> $A, B$ 正负惯性指数相同

——> 易证
<——可通过相同正负惯性指数 $p, q$ ，矩阵均合同于 $Λ = (\begin{matrix} I_{p} \\ - I_{q} \\ O \end{matrix})$ (矩阵的规范形) 可证

按共轭合同关系，n阶H阵可分为多少个共轭合同类？

根据秩，正惯性指数大小共 $(n + 1) (n + 2) / 2$ 个

正定性&Rayleigh商

正定性

设 $A$ 是 $H$ 阵， $f (X) = X^{H} A X$ ，若对 $\forall X_{0} \neq θ$ , $f (X_{0}) > 0$ ，则称 $f$ 是正定的， $A$ 是正定的 $H$ 阵

正定性判别
- $D = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋱ \\ d_{n} \end{matrix})$ ，则 $D$ 正定<——> $\forall d_{i} > 0$
- H阵 $A ≃ B$ ，则 $A$ 正定<——> $B$ 正定（通过相似于对角阵便于判断）
正定的充要条件
设有 H 阵 $A^{n \times n}$ ，下列叙述等价：
- $A$ 是正定的
- $A$ 的特征值均大于零
- $A$ 与 $I$ 共轭合同；
- 存在可逆阵 $P$ 使得 $A = P^{H} P$
- $A$ 的各顺序主子式均大于零
证明题中给出正定性一般默认该矩阵是H阵（对称的），可酉相似对角阵。

证明：设

A, B

均为 n 阶 Hermite 阵，且

A

正定；求证存在可逆阵

C

使得

C^{H} A C, C^{H} B C

均为对角阵

【证明】利用正定矩阵与单位阵合同
$\exists$ 可逆阵 $P$ ，使得 $P^{H} A P = I$ ，令 $B^{'} = P^{H} B P$
则 $B^{'}$ 为 H 阵，存在酉阵 $U$ ，使得 $U^{H} B^{'} U = Λ$
令 $C = P U$ ，则 $C^{H} B C = (P U)^{H} B (P U) = U^{H} B^{'} U = Λ, C^{H} A C = U^{H} I U = I$

其他正定性：负定/半正定( $f (X) \leq 0$ )/半负定
奇值分解
奇值分解

设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $s \times n$ 矩阵，则 $A^{H} A$ 是秩为 $r$ 的半正定矩阵。设其非零特征值为 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{r}$ ，令 $d_{i} = \sqrt{λ_{i}}$ , $D = d i a g {d_{1}, d_{2}, \dots, d_{r}}$ ，则一定存在 $s$ 阶酉矩阵 $U$ 和 $n$ 阶酉矩阵 $V$ ，使得$$A=U\begin{pmatrix}D&O\O&O\end{pmatrix}V$$

Rayleigh商

设 $A$ 为H阵， $\forall X \in C^{n}, X^{H} A X \in R$ ，定义一复变量实值函数作为 $A$ 的Rayleigh商：$$R(X)=\frac{X^HAX}{X^HX};,\forall\theta\neq X\in\mathbb{C}^n$$

定理

$λ_{m a x} = \underset{θ \neq X \in C^{n}}{m a x} R (X), λ_{m i n} = \underset{θ \neq X \in C^{n}}{m i n} R (X)$

【证明思路】
通过对应二次型标准型计算 $X^{H} A X = \sum_{i} λ_{i} {\overset{―}{k}}_{i} k_{i} \leq λ_{m a x} \sum_{i} {\overset{―}{k}}_{i} k_{i} ⟹ R (X) \leq λ_{m a x}$